方向1：偏微分方程
偏微分方程是近代數(shù)學(xué)的重要分支之一， 和數(shù)學(xué)中的其它許多分支以及工程技術(shù)有著重要的相互作用。 本研究方向主要討論偏微分方程理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的重要的非線性方程解的存在性， 解集合的結(jié)構(gòu)， 解的幾何性態(tài)以其對(duì)應(yīng)的發(fā)展方程的動(dòng)力行為等。已取得的具體代表性科研成果有：
1. 運(yùn)用新的方法，成功地解決了在一般區(qū)域上當(dāng)非線性項(xiàng)滿足一定條件時(shí)，方程正解的唯一性這一非常困難的問題，同時(shí)對(duì)非線性項(xiàng)滿足其它條件時(shí)方程的多解性也進(jìn)行了比較詳細(xì)的討論，發(fā)表在 Differential Integral Equations 上的論文“Boundary value problems of a class of quasilinear …”已被引用40次，包括Kyritsi、Manásevich、Aizicovici等學(xué)者在SCI 二區(qū)期刊上的引用。
2. 詳細(xì)刻畫了具有穩(wěn)定性的解的存在與不存在性、解的奇點(diǎn)集合的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)、解的確切重?cái)?shù)。估計(jì)了一類擬線性反應(yīng)擴(kuò)散方程組的爆破界，論文“Boundary blow-up solutions and their applications in …”已被引用49次，被Webb、Zhang zhijun、Li huiling等學(xué)者在SCI 二區(qū)期刊上多次引用。
3. 研究了理論生物學(xué)中含有多參數(shù)的半線性橢圓型方程組在參數(shù)趨于無窮時(shí)解的存在性、唯一性及穩(wěn)定性，成功地找到了相應(yīng)的極限方程，得到了原方程組解的穩(wěn)定性與極限方程變號(hào)解的穩(wěn)定性之間的關(guān)系，并證明了極限方程在凸區(qū)域上具有Dirichlet邊界條件的穩(wěn)定變號(hào)解的存在性。
4. 對(duì)超臨界和負(fù)指數(shù)二階和高階非線性方程解的存在性及解集合的結(jié)構(gòu)所做的一系列研究發(fā)表在美國數(shù)學(xué)會(huì)的 Proceeding和 Transaction 等重要刊物上。
5. 對(duì)描寫物種入侵的自由邊值問題解的動(dòng)力行為所做的研究形成了多篇論文發(fā)表在J. Differential Equations上。
我們的研究成果已被240多位學(xué)者引用690余次。目前我們正在對(duì)超臨界高階方程和方程組的解的結(jié)構(gòu)問題和物種入侵問題做深入研究，近期應(yīng)有重要的結(jié)果發(fā)表。主持國家自然科學(xué)基金3項(xiàng)，河南省杰出人才基金項(xiàng)目1項(xiàng)。
方向2：非線性分析與量子群
物理問題與規(guī)律通常出現(xiàn)奇點(diǎn)，對(duì)奇點(diǎn)性質(zhì)的研究在現(xiàn)代量子場(chǎng)論各個(gè)領(lǐng)域，如重整化、圈圖積分、物理過程的高精度計(jì)算、量子完全可積模型的對(duì)稱性研究等都有重要應(yīng)用。因此，非線性分析與量子群研究是一個(gè)十分重要的研究方向。本研究方向主要研究具有物理背景的對(duì)象的性質(zhì)，其主要研究內(nèi)容、特色優(yōu)勢(shì)、已取得代表性科研成果如下：
1. 穩(wěn)態(tài)Hartree方程正解的分類問題。此問題是Princeton大學(xué)Lieb教授提出的長期未解決的問題（有30年歷史），由于問題是非局部的，因此研究這個(gè)問題變得非常困難。關(guān)鍵的方法是利用Riesz變換把研究對(duì)象變?yōu)榱艘粋€(gè)可積系統(tǒng)，利用新的移動(dòng)平面法，通過徑向?qū)ΨQ性推導(dǎo)出Lieb教授的唯一性結(jié)論。進(jìn)一步豐富了Hartree-Fock理論。
2. 建立新的代數(shù)結(jié)構(gòu)。重點(diǎn)建立扭曲Smash積(余積)等構(gòu)造, 并發(fā)展Radford雙積理論,同時(shí)建立這些Hopf代數(shù)的擬三角和辮子結(jié)構(gòu)定理,提出了具體構(gòu)造多種類型Hopf代數(shù)上擬三角(辮子)結(jié)構(gòu)的一般方法;給出了廣義Drinfeld偶的擬三角結(jié)構(gòu)定理及其初等變換計(jì)算方法, 從而豐富和完善了交叉積Hopf代數(shù)的擬三角(辮子)結(jié)構(gòu)理論；構(gòu)造新的非交換非余交換Hopf代數(shù)和擬三角（辮子）Hopf代數(shù)，得到更多的量子Yang-Baxter方程的解。進(jìn)一步充實(shí)和發(fā)展了Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論。
3. Quasi-Einstein流形的分類。主要方法是利用黎曼流形的完備性質(zhì)，巧妙使用廣義極大值原理，借用偏微分方程的一些理論研究了此類問題的分類。主要思路是建立Weyl張量與一個(gè)3階協(xié)變張量之間的關(guān)系，通過研究其水平曲面，利用水平的曲面的良好幾何性質(zhì)來研究此類問題的分類。另外，對(duì)于研究了一類穩(wěn)定算子的特征值，并期望通過研究此類算子，找到穩(wěn)定算子對(duì)黎曼流形的幾何刻畫。因此，這方面的研究將進(jìn)一步建立完善Ricci Flow的研究。
本研究方向在Arch Rat. Mech. Anal.， Adv. Math., Calc.Var. PDE, Math. Nachr., J Algebra等重要SCI源期刊上發(fā)表論文34篇。主持國家自然科學(xué)基金3項(xiàng)。
方向3：離散數(shù)學(xué)與理論計(jì)算機(jī)科學(xué)
離散數(shù)學(xué)與理論計(jì)算機(jī)科學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要研究方向之一。本方向注重應(yīng)用理論研究，跟蹤國際前沿，經(jīng)過多年的努力，已經(jīng)形成自己的特色：
1、網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。多處理機(jī)系統(tǒng)的互連網(wǎng)絡(luò)通常以圖為數(shù)學(xué)模型，因此網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞男阅芸梢酝ㄟ^圖的性質(zhì)和參數(shù)來度量。限制邊連通度作為邊連通度的推廣，是度量互連網(wǎng)絡(luò)可靠性(容錯(cuò)性)的一個(gè)有效參數(shù)；而直徑和條件直徑是度量互連網(wǎng)絡(luò)傳輸延遲性的重要參數(shù)。我們研究了直徑或條件直徑較小的網(wǎng)絡(luò)的限制邊連通度，給出直徑受圍長約束時(shí)，圖是極大限制邊連通和超級(jí)限制邊連通的一些充分條件。為了更精確的度量網(wǎng)絡(luò)可靠性，我們提出超級(jí)k限制邊連通性的概念，并給出直徑為2的圖是超級(jí)k限制邊連通的鄰域條件。我們將極大限制邊連通圖推廣到有向圖，提出極大限制弧連通圖的概念，并給出極大限制弧連通圖的一些鄰域條件。我們也研究了一些結(jié)構(gòu)性質(zhì)較好的網(wǎng)絡(luò)的可靠性。確定所有無向Kautz圖的限制邊連通度,全面解決了無向Kautz圖的極大限制邊連通性和超級(jí)限制邊連通性。引進(jìn)包含迭代循環(huán)圖和立方體圖等著名網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞膬蓚€(gè)圖類，并計(jì)算了這兩類圖的k限制邊連通度。在國家自然科學(xué)基金和省自然科學(xué)基金的資助下，在國內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表了一系列論文，其中SCI收錄的30多篇，部分研究成果發(fā)表在下面的國際權(quán)威期刊上。Info. Sci., Theor. Comp. Sci., Networks, Disc. Math., Disc. Appl. Math., J. Graph Theor.。另外，我們還出版專著2部。我們的這些研究為可靠網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和分析奠定了理論基礎(chǔ)，已經(jīng)引起了國際國內(nèi)同行的關(guān)注。
2、DNA計(jì)算。DNA計(jì)算機(jī)是國際上“熱”的研究課題之一，它與圖論有密切的關(guān)系。在這方面,我們建立了圖的著色問題和匹配問題的DNA計(jì)算模型；優(yōu)化了求整數(shù)規(guī)劃和矩陣乘法的DNA計(jì)算模型等。提出了DNA標(biāo)號(hào)圖的概念，使之既能利于識(shí)別DNA序列又能利于DNA計(jì)算。證明了一個(gè)有向圖是DNA標(biāo)號(hào)圖當(dāng)且僅當(dāng)它是有向線圖；同時(shí)給出了一個(gè)等價(jià)關(guān)系和求哪個(gè)等價(jià)類的有效算法。在這方面的研究成果發(fā)表在下面的國際權(quán)威期刊上。J. Math. Chem., J. Chem. Info. Comp. Sci., Match-Comm. Math. Comp. Chem., Sci. China, Ser A: Math. DNA計(jì)算機(jī)有望成為人類科學(xué)史上的一個(gè)新的里程碑，給整個(gè)世界帶來巨大的變化。我們的研究結(jié)果為未來的DNA計(jì)算機(jī)建立了一些數(shù)學(xué)模型和設(shè)計(jì)了相應(yīng)的DNA算法，其中涉及的研究方法為圖與DNA計(jì)算的聯(lián)系開辟了新的道路。
方向4：微分幾何
微分幾何是當(dāng)今數(shù)學(xué)的重要分支之一，與其它主流學(xué)科如理論物理等有密不可分的聯(lián)系。本研究方向以代數(shù)和分析作為手段，研究微分幾何中具有特殊性質(zhì)的幾何對(duì)象, 重點(diǎn)討論其分類問題。本方向的主要研究內(nèi)容、特色優(yōu)勢(shì)、已取得代表性科研成果如下：
1. 球面中子流形的Moebius幾何研究。重點(diǎn)對(duì)n維超曲面的Moebius不變量, 以代數(shù)或分析為主要手段，證明了多個(gè)特色鮮明的分類定理。比如：對(duì)實(shí)空間形式中高余維且有常數(shù)量曲率和平行平均曲率向量的子流形的Moebius刻畫；對(duì)球面中具有平行Blaschke張量的超曲面的完全分類, 并首次發(fā)現(xiàn)了兩類十分重要的新例子；對(duì)球面中的n維Blaschke等參超曲面, 目前已經(jīng)完成了對(duì)n≤5的情形或具有三個(gè)不同Blaschke特征值情形下的完全分類；此外我們還有對(duì)球面中具有平行的Blaschke張量的超曲面的分類。進(jìn)一步充實(shí)和發(fā)展了子流形的Moebius幾何理論。
2. “數(shù)學(xué)物理中特殊幾何”的研究。研究了一些齊次纖維叢上的一種特殊G-結(jié)構(gòu)，計(jì)算了相應(yīng)內(nèi)蘊(yùn)撓率的具體表達(dá)式，這是進(jìn)一步研究其調(diào)和性的必要基礎(chǔ)；對(duì)某些特殊的G2結(jié)構(gòu)在超曲面上的誘導(dǎo)SU(3)-結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入的探討, 得到了該誘導(dǎo)SU(3)-結(jié)構(gòu)的內(nèi)蘊(yùn)撓率的不可約顯式分解表達(dá)式，為進(jìn)一步利用計(jì)算機(jī)研究此類SU(3)-結(jié)構(gòu)提供了新的思路和途徑。
3. 超曲面的仿射微分幾何研究。目前的主要關(guān)注點(diǎn)是仿射Bernstein問題的研究和對(duì)于具有平行Fubini-Pick形式的超曲面分類研究。我們通過黎曼對(duì)稱空間的對(duì)偶對(duì)應(yīng)，巧妙地把所關(guān)心的超曲面的分類問題化為復(fù)射影空間中的平行極小全實(shí)子流形的分類問題，大大地簡化了相關(guān)的論證。同時(shí)，這方面的研究第一次建立了仿射幾何與全實(shí)子流形理論之間的內(nèi)在聯(lián)系。
4. 黎曼流形上的特征值研究。研究了黎曼流形上具有物理意義的Laplacian算子的特征值萬有估計(jì)，即所得到的結(jié)果不依賴于區(qū)域的大小和形狀。對(duì)于Clamped Plate特征值，考慮了其萬有估計(jì)及在哪些流形上達(dá)到最優(yōu)；對(duì)于Buckling特征值，一方面考慮其萬有估計(jì)和最優(yōu)性，另一方面通過構(gòu)造新的實(shí)驗(yàn)函數(shù)，考慮了其前兩個(gè)特征值的最佳比率。
本研究方向在 Calc. Var. PDE, Internat. J. Math., Math. Nachr. Manuscript math. Differential Geom. Appl.，J. Math. Anal. Appl.等重要SCI源期刊上發(fā)表論文14篇。主持國家自然科學(xué)基金5項(xiàng)。
方向5：最優(yōu)化理論
大量的科學(xué)、經(jīng)濟(jì)與工程計(jì)算問題均歸化為求最優(yōu)化問題（P）的最優(yōu)解，但問題（P）存在多個(gè)非全局最優(yōu)的局部解，這使得對(duì)其研究極具挑戰(zhàn)性。因此，研究問題（P）的有效求解方法具有重要的科學(xué)意義和應(yīng)用前景。本方向的主要研究內(nèi)容、特色優(yōu)勢(shì)、已取得代表性科研成果如下：
1. 對(duì)廣義幾何規(guī)劃（GGP）問題：根據(jù)問題的特點(diǎn)，提出了求（GGP）問題的魯棒解算法；利用Lagrangian對(duì)偶理論和區(qū)間Newton法及有關(guān)的線性松弛等措施，提出了相應(yīng)的線性松弛化方法，這些研究成果被SCI期刊論文引用20次（不含自己引用次數(shù)）。
2. 對(duì)幾類比式和分式規(guī)劃問題：針對(duì)廣義線性比式和、二次函數(shù)比式和、凸函數(shù)比式和、廣義多項(xiàng)式比式和等幾類具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的分?jǐn)?shù)規(guī)劃問題，根據(jù)不同問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過引入變量及某些合適的轉(zhuǎn)化技巧，利用對(duì)偶理論等方法，構(gòu)造出相應(yīng)的線性松弛規(guī)劃問題，通過求解一系列線性規(guī)劃問題最終獲得原問題的全局最優(yōu)解，提出一系列新的有效算法。
3. 對(duì)加速方法的研究: 為了改進(jìn)全局優(yōu)化問題分支定界方法的計(jì)算花費(fèi), 提高算法的計(jì)算效率, 研究了針對(duì)廣義幾何規(guī)劃、一類非凸規(guī)劃等問題的分支定界方法的加速原則，提出了有關(guān)的區(qū)域刪除判斷準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則能刪除問題可行域中不含最優(yōu)解的區(qū)域，從而縮小了算法的求解范圍，達(dá)到了算法加速的目的。
4. 利用優(yōu)化思想和并行計(jì)算工具，建立了模擬大氣重力波非線性傳播的并行數(shù)值模式，研究了大氣重力波在在各種大氣溫度背景和風(fēng)場(chǎng)背景中的傳播情況，及其對(duì)大氣背景的影響，揭示了低層大氣重力波與中間層和低熱層高度上小尺度波動(dòng)之間的直接耦合關(guān)系。
本研究方向在 J. Glob. Optim., J. Geophys. Res., Math. Meth. Opera. Rese., J. Comput. Appl. Math., Ann. Geophys., Comput. Math. Appl., Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Appl., Math. Comput. Modelling等重要SCI源期刊上發(fā)表論文21篇。主持國家自然科學(xué)基金3項(xiàng)，河南省高?？萍紕?chuàng)新人才支持計(jì)劃1項(xiàng)，河南省科技創(chuàng)新杰出青年基金1項(xiàng)。
