總學(xué)時數(shù)： 170 學(xué)分：5+5 適用專業(yè)：物理學(xué)各專業(yè)

一、課程教學(xué)目標

通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得有關(guān)一元函數(shù)極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分、重積分以及級數(shù)與常微分方程等基本概念、基本理論和基本運算方法，一方面為各種后繼課程的學(xué)習(xí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；另一方面培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理、空間想象和科學(xué)計算的能力，使學(xué)生具有一定的解決實際問題的能力。

二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)

高等數(shù)學(xué)課程是理工類高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)理論課，是培養(yǎng)造就高層次專門人才所需數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本課程。

通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得有關(guān)連續(xù)變量的基本概念、基本理論和基本運算方法，一方面為各種后繼課程的學(xué)習(xí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；另一方面培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理、空間想象和科學(xué)計算的能力，尤其是運用數(shù)學(xué)知識解決來自實際中問題的能力。

三、課程教學(xué)的基本要求

（一）函數(shù)、極限、連續(xù)

1. 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系。

2. 了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 .

3. 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念 .

4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形 .

5. 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系 .

6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則 .

7. 掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法 .

8. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限 .

9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型 .

10. 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

（二）一元函數(shù)微分學(xué)

1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2. 掌握導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)。

4. 會求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

5. 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

6. 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。

7. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)的極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及簡單應(yīng)用。

8. 會判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)的拐點及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

9. 掌握用洛比達法則求未定式極限的方法。

10. 了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

（三）一元函數(shù)積分學(xué)

1. 理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2. 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理 ，掌握換元積分法與分部積分法。

3. 會求有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

4. 理解變上限定積分定義的函數(shù)會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓 - 萊布尼茨公式。

5. 了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。

6. 掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、功、引力、壓力）及函數(shù)的平均值。

（四） 空間解析幾何和向量代數(shù)

1. 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

2. 掌握向量的各種運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

3. 理解單位向量、方向數(shù)和方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。

4. 掌握空間平面和空間直線的各種方程及其求法。

5. 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問題 .

6. 會求點到直線以及點到平面的距離。

7. 了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

8. 了解常用二次曲面的方程和圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

9. 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。

（五）多元微分學(xué)

1. 理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3. 理解偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的充分和必要條件，了解全微分形式的不變性。

4. 掌握多元復(fù)合函數(shù)（包括隱函數(shù)）的一、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

5. 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，并會求它們的方程。

6. 了解二元函數(shù)的二階 Taylor 公式。

7. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值和用 Lagrange 乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并能解決一些簡單的實際問題。

（六）多元函數(shù)積分學(xué)

1. 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

2. 掌握二重的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。

3. 理解兩類曲線積分的概念，了解它們的性質(zhì)和關(guān)系。

4. 掌握兩類曲線積分的計算方法。

5. 掌握 Green 公式并會應(yīng)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。

6. 了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)和關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，會用 Gauss 公式和 Stokes 公式計算曲面、曲線積分。

7. 了解散度與旋度的概念，并會計算。

8. 會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等）。

（七）級數(shù)

1. 理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)和收斂的必要條。

2. 掌握幾何級數(shù)和 p 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3. 掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法比值判別法，會用根值判別法。

4. 掌握交錯級數(shù)的 Leibniz 判別法。

5. 了解級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念，以及絕對收斂和收斂的關(guān)系。

6. 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂及和函數(shù)的概念。

7. 理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的求法。

8. 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的一些性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。

9. 了解函數(shù)展開為 Taylor 級數(shù)的充要條件發(fā)。

10. 掌握 e x 、 sinx 、 cosx 、 ln(1+x) 和 (1+x) m 的 Maclaurin 展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

11. 了解 Fourier 級數(shù)的概念和 Dirichlet 收斂定理，并會將定義在 [-L, L] 上的函數(shù)展開為 Fourier 級數(shù)，會將定義在 [0, L] 上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)，會寫出某些 Fourier 級數(shù)的和函數(shù)。

（八）常微分方程

1.了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。

2. 掌握變量可分離的微分方程以及一階線性微分方程的解法。

3. 會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。

4. 會用降階法解下列微分方程 ： y （ n ） = f(x) , y ″ = f(x,y ′ ), y ″ =f(y,y ′ ).

5. 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7. 會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

8. 會解歐拉方程。

9. 會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。

四、課程教學(xué)內(nèi)容

（一）函數(shù)、極限、連續(xù)

函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系 無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較 極限的四則運算 極限存在的三個準則：單調(diào)有界準則夾逼準則和柯西收斂準則 兩個重要極限 函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（二）一元函數(shù)微分學(xué)

導(dǎo)數(shù)和微分的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 平面曲線的切線和法線 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 高階導(dǎo)數(shù)的概念 某些簡單函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù) 一階微分形式的不變性 微分中值定理 洛比達法則 函數(shù)的極值 函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸進線 函數(shù)圖形的描繪 函數(shù)最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率半徑

（三）一元函數(shù)積分學(xué)

原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 定積分的概念和基本性質(zhì) 定積分中值定理 變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 牛頓 - 萊布尼茨公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分 廣義積分 定積分的應(yīng)用

（四） 空間解析幾何和向量代數(shù)

向量的概念 向量的線性運算 向量的數(shù)量積和向量積 向量的混合積 兩個向量垂直、平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標表達式及其運算 單位向量 方向數(shù)和方向余弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 空間平面和空間直線的方程 平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角以及平行和垂直的條件 點到平面以及點到直線的距離 球面 母線平行于坐標軸的柱面 旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 常用二次曲面的方程和圖形 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程 空間曲線在坐標平面上的投影曲線方程

（五）多元微分學(xué)

多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分 全微分存在的充分和必要條件 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法 二階偏導(dǎo)數(shù) 方向?qū)?shù) 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 二元函數(shù)的二階 Taylor 公式 多元函數(shù)極值和條件極值 Lagrange 乘數(shù)法 多元函數(shù)的最大值和最小值及簡單應(yīng)用

（六）多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分、三重積分的概念及性質(zhì) 二重積分與三重積分的計算和應(yīng)用 兩類曲線積分的概念、性質(zhì)和計算 兩類曲線積分的關(guān)系 Green 公式 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 已知全微分求原函數(shù) 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)和計算兩類曲面積分的關(guān)系 Gauss 公式 Stokes 公式 散度與旋度的概念及計算 曲線積分及曲面積分的應(yīng)用

（七）級數(shù)

常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)和收斂的必要條 幾何級數(shù)和 p 級數(shù)的及其收斂性 正項級數(shù)收斂性的判別法 交錯級數(shù)的 Leibniz 定理 任意項級數(shù)的絕對收斂和條件收斂 函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念 冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域 冪級數(shù)的和函數(shù) 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 函數(shù)的 Fourier 系數(shù)與 Fourier 級數(shù) Dirichlet 定理 在 [-L, L] 上的 Fourier 級數(shù) 函數(shù)在 [0, L] 上的正弦或余弦級數(shù)

（八）常微分方程

常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利方程 全微分方程 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程 簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 歐拉方程 微分方程簡單的應(yīng)用

五、教學(xué)時數(shù)分配

《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)時數(shù)分配表

總學(xué)時： 170 學(xué)分：5+5

六、教材及參考書

教材 高等數(shù)學(xué)（四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室編 高等教育出版社）

推薦參考書 高等數(shù)學(xué)（同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編 高等教育出版社， 2002.7 ）

高等數(shù)學(xué)解題方法技巧歸納（毛綱源 華中科技大學(xué)出版社， 2003.11 ）

七、主要教學(xué)方法

數(shù)學(xué)具有嚴密的邏輯性、高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性。根據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點和學(xué)生的年齡特征，在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。在教學(xué)時，盡可能展示數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的過程，使高度抽象的東西變的具體、生動、有趣。并聯(lián)系實際，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性，使知識學(xué)有所用。教學(xué)方法主要采用講授法，并注重師生互動。教學(xué)手段采用常規(guī)教學(xué)。

八、其它

本課程為考試課。

制 訂：數(shù)學(xué)教育教研室

執(zhí)筆人：侯學(xué)萍