人工智能在研究生《隨機過程》課程教學(xué)中的應(yīng)用與實踐

摘要：隨機過程在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)以及其他多個學(xué)科領(lǐng)域中都具有極其重要的地位。它是描述隨時間或空間變化的隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具，通過定義在某種概率空間上的隨機變量族來刻畫這些現(xiàn)象。維納過程作為隨機過程中重要的一部分在數(shù)學(xué)中同樣具有非常重要的地位。它在隨機信號分析、經(jīng)濟學(xué)和信號處理、圖像處理領(lǐng)域的研究中是不可或缺的。在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，維納過程可以描述高斯白噪聲的積分形式。在電子工程中，維納過程是建立噪音的數(shù)學(xué)模型的重要部分，電子元器件在恒溫下的熱噪聲也是一種維納過程。控制論中，維納過程可以用來表示不可知因素。近年來，人工智能（AI）不僅改變了人們的生活方式，還對社會、經(jīng)濟、科技等領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。將人工智能應(yīng)用到隨機過程教學(xué)中，可以產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。針對隨機過程中維納過程的特點，本案例通過追根溯源，將維納過程的來龍去脈，研究過程及其定義和特點進(jìn)行詳細(xì)分析，同時采用建模的方法設(shè)計了一個維納過程演示的小程序，通過程序演示更直觀地觀察了離散型維納過程的演示過程和結(jié)果，通過對不同參數(shù)的設(shè)置，更加直觀地了解維納過程的過程及特點，加深對維納過程理論知識和概念的掌握，同時對維納過程的規(guī)律有了進(jìn)一步深入的理解；進(jìn)一步通過matlab編程，將維納過程通過計算機仿真，便于在信號處理時能更好地分析和模擬維納過程。最后，案例通過列舉維納過程在股票價格和圖像信號處理中的應(yīng)用，使得將純理論的知識應(yīng)用到實踐中，更加深刻感受到知識來源于生活，應(yīng)用于生活，理論來源于實際，應(yīng)用于實際的道理。

關(guān)鍵詞：布朗運動；維納過程；人工智能；數(shù)學(xué)建模；仿真，應(yīng)用

1.引言

維納過程（Wiener process）作為一種具有連續(xù)時間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的基本隨機過程，其理論不僅在概率論與隨機過程學(xué)科中占有相當(dāng)重要的地位，而且是刻畫金融資產(chǎn)價格隨時間演變過程的重要數(shù)學(xué)工具，在金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。1827年，英國植物學(xué)家Brown利用顯微鏡觀察察漂浮在平靜的液面上的微小粒子時，發(fā)現(xiàn)微粒在不停地做無規(guī)則運動，這種現(xiàn)象后來就被稱為布朗運動。Einstein在1905年首先使用統(tǒng)計方法對布朗運動進(jìn)行了定量研究，通過可測量物理量來研究布朗運動的宏觀統(tǒng)計特性，建立了布朗運動的物理模型。1923年，美國數(shù)學(xué)家Wiener將Einstein的布朗運動物理模型抽象為一個純粹的隨機過程數(shù)學(xué)模型，因此,布朗運動也被稱為維納過程，維納過程是布朗運動的數(shù)學(xué)模型。

布朗的發(fā)現(xiàn)是一個新奇的現(xiàn)象，它的原因是什么？人們是迷惑不解的。在布朗之后，這一問題一再被提出，為此有許多學(xué)者進(jìn)行過長期的研究。一些早期的研究者簡單地把它歸結(jié)為熱或電等外界因素引起的。最早隱約指向合理解釋的是維納（1826——1896），1863年他提出布朗運動起源于分子的振動，他還公布了首次對微粒速度與粒度關(guān)系的觀察結(jié)果。不過他的分子模型還不是現(xiàn)代的模型，他看到的實際上是微粒的位移，并不是振動。

在維納之后，S·?？怂辜{也測定了微粒的移動速度。他提出布朗運動是由于微觀范圍的流動造成的，他沒有說明這種流動的根源，但他看到在加熱和光照使液體粘度降低時，微粒的運動加劇了。就這樣，維納和S·?？怂辜{都把布朗運動歸結(jié)為物系自身的性質(zhì)。這一時期還有康托尼，他試圖在熱力理論的基礎(chǔ)上解釋布朗運動，認(rèn)為微粒可以看成是巨大分子，它們與液體介質(zhì)處于熱平衡，它們與液體的相對運動起源于滲透作用和它們與周圍液體之間的相互作用。
　　到了70——80年代，一些學(xué)者明確地把布朗運動歸結(jié)為液體分子撞擊微粒的結(jié)果，這些學(xué)者有卡蓬內(nèi)爾、德爾索和梯瑞昂，還有耐格里。植物學(xué)家耐格里(1879)從真菌、細(xì)菌等通過空氣傳播的現(xiàn)象，認(rèn)為這些微粒即使在靜止的空氣中也可以不沉。聯(lián)系到物理學(xué)中氣體分子以很高速度向各方向運動的結(jié)論，他推測在陽光下看到的飛舞的塵埃是氣體分子從各方向撞擊的結(jié)果。他說：“這些微小塵埃就象彈性球一樣被擲來擲去，結(jié)果如同分子本身一樣能保持長久的懸浮。”不過耐格里又放棄了這一可能達(dá)到正確解釋的途徑，他計算了單個氣體分子和塵埃微粒發(fā)生彈性碰撞時微粒的速度，結(jié)果要比實際觀察到的小許多數(shù)量級，于是他認(rèn)為由于氣體分子運動的無規(guī)則性，它們共同作用的結(jié)果不能使微粒達(dá)到觀察速度值，而在液體中則由于介質(zhì)和微粒的摩擦阻力和分子間的粘附力，分子運動的設(shè)想不能成為合適的解釋。

1874——1880年間，卡蓬內(nèi)爾、德耳索和梯瑞昂的工作解決了耐格里遇到的難題。這里的關(guān)鍵是他們認(rèn)為由于分子運動的無規(guī)則性和分子速度有一分布，在液體或氣體中的微觀尺度上存在密度和壓力的漲落。這種漲落在宏觀尺度上抵消掉了。但是如果壓方面足夠微小，這種不均勻性就不能抵消，液體中的相應(yīng)的擾動就能表現(xiàn)出來。因此懸浮在液體中的微粒只要足夠小，就會不停地振蕩下去。卡蓬內(nèi)爾明確地指出唯一影響此效應(yīng)的因素是微粒的大小，不過他把這種運動主要看成振蕩，而德耳索根據(jù)克勞修斯把分子運動歸結(jié)為平動和轉(zhuǎn)動的觀點，認(rèn)為微粒的運動是無規(guī)則位移，這是德耳索的主要貢獻(xiàn)。

此后，古伊在1888——1895年期間對布朗運動進(jìn)行過大量的實驗觀察。古伊對分子行為的描述并不比卡蓬內(nèi)爾等人高明，他也沒有弄清漲落的見解。不過他的特別之處是他強調(diào)的不是對布朗運動的物理解釋，而是把布朗運動作為探究分子運動性質(zhì)的一個工具。他說：“布朗運動表明，并不是分子的運動，而是從分子運動導(dǎo)出的一些結(jié)果能向我們提供直接的和可見的證據(jù)，說明對熱本質(zhì)假設(shè)的正確性。按照這樣的觀點，這一現(xiàn)象的研究承擔(dān)了對分子物理學(xué)的重要作用?！惫乓恋奈墨I(xiàn)產(chǎn)生過重要的影響，所以后來貝蘭把布朗運動正確解釋的來源歸功于古伊。

到了1900年，F·?？怂辜{完成了布朗運動前期研究的最后工作。他用了許多懸濁液進(jìn)行了和他的父親S·?？怂辜{30年前作過的同類研究。他測定了微粒在1min內(nèi)的位移，與前人一樣，證實了微粒的速度隨粒度增大而降低，隨溫度升高而增加。他清楚地認(rèn)識到微粒作為巨大分子加入了液體分子的熱運動，指出從這一觀點出發(fā)“就可以得出微粒的動能和溫度之間的關(guān)系。”他說：“這種可見的運動及其測定值對我們清楚了解液體內(nèi)部的運動會有進(jìn)一步的價值”。

以上是1900年前對布朗運動研究的基本情況。自然，這些研究與分子運動論的建立是密切相關(guān)的。由麥克斯威和玻爾茲曼在60——70年代建立的氣體分子運動論在概念上的一個重大發(fā)展是拋棄了對單個分子進(jìn)行詳細(xì)跟蹤的方法，而代之以對大量分子的統(tǒng)計處理，這為弄清布朗運動的根源打下了基礎(chǔ)。與布朗運動的研究有密切關(guān)系的還有在60年代由格雷哈姆建立的膠體科學(xué)。所謂膠體是由粒度介于宏觀粒子和微觀分子之間的微粒形成的分散體系，布朗運動正是膠體粒子在液體介質(zhì)中表現(xiàn)的運動。

對于布朗運動的研究，1900年是個重要的分界線。至此，布朗運動的適當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ鸵呀?jīng)顯明，剩下的問題是需要作出定量的理論描述了。

以W(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標(biāo)（同樣也可設(shè)縱坐標(biāo)）且設(shè)W(0) =0。根據(jù)愛因斯1905年提出的理論，微粒的這種運動是由于受到大量隨機的，相互獨立的分子碰撞的結(jié)果。于是，粒子在時段(s，t]（與相繼兩次碰撞的時間間隔相比是很大的量）上的位移可看作是許多微小位移的代數(shù)和，則W(t)-W(s)服從正態(tài)分布。

顯然，依中心極限定理，假定位移W(t)-W(s)為正態(tài)分布是合理的。其次，由于粒子的運動完全是由液體分子的碰撞而引起的。這樣，在不相互重疊的時間間隔內(nèi)，碰撞的次數(shù)、大小和方向可假定是相互獨立的，這就是說位移W(t)具有獨立的增量。另外，液面處于平衡以態(tài)，這時粒子在一時段上位移的概率分布可以認(rèn)為只依賴于這時段的長度，而與觀察的起始時刻無關(guān)，即W(t)具有平穩(wěn)增量。

詳細(xì)分析過程見下面附件

附件：人工智能在研究生《隨機過程》課程教學(xué)中的應(yīng)用與實踐.pdf